Ilustración de M.C. Escher

lunes, 4 de marzo de 2013


Las 10 ecuaciones matemáticas que cambiaron el mundo




EL LENGUAJE SIRVE PARA ENSEÑAR
AGUSTÍN: ¿Qué es lo que queremos hacer, en tu opinión, cuando hablamos?
ADEODATO:  Por lo que se me viene a las mientes en este momento, enseñar o aprender.
AG.: Uno de esos fines lo comprendo claramente y estos de acurdeo contigo: cuando hablamos queremos enseñar, es evidente. Pero ¿cómo se entiende eso de que queremos a aprender?
AD:  Pues ¿cómo te parece que va a ser, más que preguntando?
AG.:  Incluso entonces, a mi juicio, no queremos sino enseñar; pues que te pregunte si interrogas por otro motivo que para enseñar lo que deseas saber a quien interrogas.
AD.:  Es cierto.
AG.: Pues ya ves que al utilizar el lenguaje no tenemos otro fin que el de enseñar.
AD.: No lo tengo del todo claro; pues si hablar consiste en pronunciar palabras, constato que eso también lo hacemos cuando cantamos.  Ahora bien, cuando cantamos a menodo estamos solos, no hay nadie presente para aprender y por tanto no creo que deseemos enseñar nada a nadie.
AG.: Sin embargo yo pienso que hay una manera de enseñar despertando lo recursos, y es una manera importante, como lo demostrará el objeto mismo de nuestra conversación.  Pero si estimas que no prendemos cuando recordamos y que  el que recuerda no enseña, no voy a contradecirte; y por tanto pongo dos objetivos del lenguaje: enseñar o hacer recordar sea a nosotros mismos o sea a otros.  Esto es también lo que hacemos cantando. ¿Estás de acuerdo?
AD.: No del todo, pues me parece raro eso de que canto para recordar: lo hago solamente por gusto.
 
AGUSTÍN DE HIPONA, De magistro, I, 1.

CURIOSIDADES

EL SACO DEL DINERO

domingo, 3 de marzo de 2013

Reflexión


Me despido de ustedes el día de hoy, con la siguiente frase:

"Un hombre es como una fracción cuyo numerador corresponde a lo que él es, mientras que el denominador representa lo que él cree ser. Cuanto más grande es el denominador, más pequeña es la fracción".
León Tolstói

Ecología matemática

 
La Ecología matemática es una rama de la Biología que aplica los teoremas y métodos matemáticos a los problemas de la relación de los seres vivos con su medio. Esta disciplina provee de la base formal para la enunciación de gran parte de la ecología teórica.
El mayor desarrollo de esta rama de la ecología se ha producido en relación a la ecología de poblaciones. Los modelos clásicos en ecología son dos: la relación depredador-presa  y el crecimiento logístico de las poblaciones de seres vivos en un medio con recursos limitados.
Los métodos utilizados son los mismos que en otras ramas de la ciencia que hacen uso de las herramientas matemáticas. En general un sistema biológico es convertido en un sistema de ecuaciones. La solución del sistema matemático, tanto por medios analíticos como numéricos, describe el comportamiento del sistema biológico a lo largo del tiempo o en un estado de equilibrio.
 
Los modelos en la ecología suelen contener funciones de tipo exponencial y son muy propensos a comportarse en forma caótica. Los modelos espaciales que apuntan a simular un sistema concreto, como por ejemplo una plaga en un área o una plantación, son llamados modelos de simulación.  

Historia

Epistemología de las matemáticas


La epistemología en la teoría del conocimiento se refiera una rama de la filosofía se está recociendo la importancia que tiene una visión adecuada de la naturaleza de la matemática como condicionamiento de los distintos modelos de intrusión si se piensa por ejemplo que los objetos matemáticos tiene una existencia idealista independiente del sujeto y de la realidad a la que se aplica.
El uso de la matemática se remotan a diferentes culturas a través del tiempo varias  sociedades ofrecían un método distinto de numeración y clasificación de datos pero fueron los griegos los que tomaron la iniciativa sobre el ¿Qué hacer esos datos numéricos? Fue una de las primeras ideas fue la facilitación del comercio de allí el origen de la aritmética y la geometría.
 
Asimismo  los griegos propusieron una organización de los conocimientos matemáticos y dieron a conocer una reglas que dieron a la lógica la matemática sea señalado de manera cotidiana desde el comienzo de las actividades académicas y realmente nunca se  termina de aprender gracias a su aplicación real.
 
 
  

HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS




Si sigues este enlace podrás leer un maravilloso comic sobre la historia de las matemáticas y realizar divertidas actividades.
Presiona  la imagen



NÚMEROS AMIGOS

NÚMEROS AMIGOS

  Dos números son amigos cuando cada uno es igual a la suma
de los divisores del otro.
El menor par de números amigos es el formado por el 220 y 284:
Suma de los divisores de 220:
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 11 + 44 + 55 + 110 = 284
Suma de los divisores de 284:
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
Euler publicó en 1750 una lista de sesenta pares y curiosamente olvidó el segundo par en orden creciente: 1184 y 1210 que fue descubierto por Paganini en 1866 a los 16 años de edad.
Otros números amigos son (6232 y 6368), (2620 y 2924), (18416 y 17296), (9437056 y 9363284) ....

NÚMEROS CAPICÚA

LA CONJETURA CAPICÚA

Este es un problema que trata de la obtención de números capicúa.

Número capicúa es aquel que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda.



Por ejemplo: 23432, 5775, 24042 ...


¿Cómo se pueden obtener números capicúa a partir de uno dado?


Al número dado se le suma el que resulta de invertir el orden de sus cifras; se repite el proceso las veces necesarias hasta obtener un capicúa.



Ejemplo: Partimos del número 96:

96 + 69 = 165; 165 + 561 = 726; 726 + 627 = 1353; 1353 + 3531 = 4884

Si hubiéramos partido del número 89, según el proceso anterior, después de 24 pasos, se llega al capicúa 8.813.200.023.188

Juego matemático

Cálculo mental
 
Con este juego practíca el cálculo mental con este juego.




Para acceder al juego presiona la imagen.

EPITAFIO DE DIOFANTO

UN PEQUEÑO PROBLEMITA COMPAÑEROS DONDE UTILIZAMOS LAS OPERACIONES ALGEBRAICAS Y EL RAZONAMIENTO, QUIEN GUSTE PUEDE COMENTAR EL PROCEDIMIENTO UTILIZADO Y SU RESPUESTA COMPAÑEROS


Epitafio de Diofanto

Diofanto de Alejandría (siglo III a.C.), último geómetra importante en la matemática griega, que según la tradición dejó escrito el siguiente acertijo:
Caminante, aquí fueron enterrados los restos de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió: Su juventud ocupó la sexta parte, después durante la doceava parte su mejilla se cubrió de vello. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y su primogénito nació cinco años después. Al alcanzar éste la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirlo llorándolo, durante cuatro años más. Con esta información deduce su edad.

METODOS PARA RESOLVER ECUACIONES

AQUI MOSTRAMOS ALGUNOS EJEMPLOS PARA RESOLVER ECUACIONES ALGEBRAICAS

En la Actividad inicial jugamos a adivinar el número que pensaba nuestro amigo deshaciendo de forma inversa las operaciones que aparecían en el enunciado. Por ejemplo, si le sale 1700 tenemos la ecuación:
Este proceso puede esquematizarse así:
Luego n=7 es la solución de la ecuación 100n+1000=1700. A este método se le llama método de deshacer

Actividades




Otro método algebraico para resolver ecuaciones consiste en representar una igualdad por una balanza en equilibrio. Por ejemplo una igualdad numérica como:
estaría representada como:
La ecuación 2x+5=17 se representaría como:
Si quito 5 del platillo izquierdo la balanza se desequilibrará. Por tanto, tendré que quitar la misma cantidad en el platillo de la derecha para que se equilibre:
que equivale a:
Luego la balanza estará equilibrada si quito x de la izquierda y 6 de la derecha:
Por tanto x=6 es la solución de la ecuación 2x+5=17

Actividades




De esta forma nos damos cuenta que obtenemos la solución de una ecuación pasando de unas situaciones de equilibrio a otras. Si traducimos estos gráficos al lenguaje algebraico tendríamos:
Entonces decimos que 2x+5=17 y 2x=12 tienen la misma solución ( x=6 ).
De dos ecuaciones que tienen las mismas soluciones se dice que son ecuaciones equivalentes.

Podemos obtener ecuaciones equivalentes, pues, sumando o restando el mismo número en ambos miembros o bien multiplicando o dividiendo por el mismo número como acabamos de ver en los gráficos de balanzas y en las expresiones algebraicas:
  1. Si a los dos miembros de una ecuación, se les suma o resta un mismo número o una misma expresión algebraica, la ecuación que resulta es equivalente a la dada.
  2. Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo número, distinto de cero, la ecuación resultante es equivalente a la dada.



Vemos, pues, que una buena técnica para resolver una ecuación de 1er grado sería obtener ecuaciones equivalentes cada vez más sencillas hasta obtener una en la que la incógnita estuviese despejada. Sin embargo, hay ecuaciones en las que la incógnita x aparece sometida además a otras operaciones: elevada al cuadrado (x2
), al cubo (x3), etc. por lo que habrá que utilizar otras estrategias que veremos más adelante para el cálculo de la incógnita. Algunos ejemplos podrían ser:
  • Ecuaciones de 2ºgrado:

  • Ecuaciones de 3er grado:

  • Ecuaciones radicales:

  • Ecuaciones con la x en el denominador:

  • Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:

EXPRESION ALGEBRAICA

UNA PEQUEÑA REFERENCIA DE LO QUE ES UNA EXPRESION ALGEBRAICA     Como ves, podemos resolver problemas manejando expresiones en forma de relaciones numéricas, donde una o varias letras tengan un significado concreto, pero desconozcamos sus valores. A estas letras se les llama incógnitas, variables o indeterminadas.
Llamamos expresión algebraica a toda combinación de variables y números relacionados por las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y potenciación.

Las expresiones algebraicas aparecen en multitud de campos: geometría, física, economía, etc.:
  • Área de una circunferencia:
  • Presión de un gas a temperatura constante:
  • Fórmula del interés simple:
Una fórmula es, pues, una ecuación que relaciona varias variables, llamadas magnitudes, las cuales son propiedades que pueden medirse; como por ejemplo:

EL LENGUAJE ALGEBRAICO

HOLA COMPAÑEROS Y AMIGOS, AQUI LES DEJO UNA PEQUEÑA ADIVINANZA, CON LA SOLUCION Y UNA PEQUEÑA PROPUESTA PARA QUIEN GUSTE APORTAR SU OPINION Y SU SOLUCIÓN A EL ULTIMO PROBLEMA PLANTEADO


Comenzamos con una adivinanza que puedes proponer a un amigo:
  1. Piensa un número.
  2. Multiplícalo por 2.
  3. Añade 5 al resultado.
  4. Multiplica lo que has obtenido por 5.
  5. Añade 75 al resultado.
  6. Multiplica el resultado por 10.
  7. Dime lo que te sale y te diré, rápidamente, tu número inicial.

¿Podrías encontrar el truco utilizado para adivinar el número inicial?


Si llamamos n al número inicial, podemos escribir las expresiones algebraicas que obtenemos en cada paso:
  1. n
  2. 2n
  3. 2n+5
  4. 5(2n+5)
  5. 5(2n+5)+75
  6. 10[5(2n+5)+75]
expresión que simplificamos:
Entonces, según el número que te diga tu amigo en el paso 7, tendremos:
Entonces si te dice tu amigo que le sale 3300, entonces puedes recuperar el valor inicial de n=23 deshaciendo la operación: restando 1000 y dividiendo por 100 el resultado. Esto se reduce a una regla rápida de cálculo como es restar un dígito a la cifra del millar y quitar los ceros a la cifra resultante:
Si te dice 2700, nos quedamos con 1700, al que quitamos los dos ceros (1700), y de aquí obtenemos el valor inicial 17
Intenta ahora averiguar qué expresión algebraica obtienes si la adivinanza fuese:
  1. Piensa un número.
  2. Súmale 2.
  3. Eleva el resultado al cuadrado.
  4. Réstale cuatro veces tu número inicial.
  5. Dime lo que te sale y te diré, rápidamente, tu número inicial.

OPERACIONES ALGEBRAICAS

AQUI LES ANEXO UN PEQUEÑO VIDEO DONDE SE EXPRESAN UN POCO DE INFORMACIÓN Y ALGUNOS PEQUEÑOS EJEMPLOS DE LO QUE SON CONSIDERADAS COMO OPERACIONES ALGEBRAICAS ( SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISION

OPERACIONES ALGEBRAICAS
http://www.youtube.com/watch?v=nJ234FDIBrE

CLASE DE ALGEBRA

ESPERO LES SEA DE UTILIDAD ESTA EXPLICACIÓN SALUDOS

CURIOSIDADES MATEMÁTICAS II


Hola buen dia a todos nuestros visitantes del blog aquí les dejo las otras curiosidades Matemáticas.

25. A René Descartes se le considera como el creador de la Geometría Analítica. Una de sus mayores aportaciones fue el traducir el leguaje geométrico, casi experimental, al lenguaje algebraico.
26. John Théophile Desaguliers (1683 – 1744), físico inglés de origen francés, fue el primer autor que empleó la palabra conductor, para designar los cuerpos que permiten el paso de la corriente eléctrica, y aislante para referirse a los que oponen gran resistencia al paso de dicha corriente.
27. La palabra «derivada» será introducida por Lagrange a final del siglo XVIII, pero de nuevo está ausente la noción de límite.
28. La notación y’ y f´(x) , para la derivada, fueron introducidas por Lagrange , mientras que las formas dy/dx o df/dx se deben a Leibniz .
29. Leibniz fue el primero que utilizó el término función. Para él y para los matemáticos del siglo XVIII, el concepto de relación funcional en sentido matemático estaba más o menos identificado con el de una fórmula algebraica sencilla que expresara la naturaleza exacta de esta dependencia. Leibniz también introdujo los términos constante, variable y parámetros y la notación de derivada anteriormente citada.
30. Leonard Euler estudió la sucesión (1 + 1/n) n . Al límite de esta sucesión se le llamó número e , inicial de su apellido.
31. El primer matemático que utilizó los determinantes en sentido moderno fue el suizo Gabriel Cramer (1704-1752), el año 1750.
32. El análisis de Fourier fue inventado por Jean Baptiste Joseph, barón de Fourier, físico francés, en 1807. Demostró que una onda periódica cuya longitud sea ? se puede sintetizar con una suma de ondas armónicas cuyas longitudes son ?, ?/2, ?/4, etc.
33. El Barón Joseph Fourier (1768-1830) propuso la notación moderna para las integrales (v.)
34. “¡Eureka! num = ??+ ??+ ?”.
Esta enigmática inscripción es lo que escribió en su cuaderno de notas Carl Friedrich Gauss cuando descubrió que todo número entero positivo es la suma de tres números triangulares, que son los que cumplen la forma n (n+1) / 2.
35. Leonard Euler (1707-1783), matemático suizo, simbolizó en 1777 la raíz cuadrada de -1 con la letra i (inicial de imaginario).
36. La palabra cero deriva probablemente de “zephirum”, forma latinizada del árabe “sifr” que es, a su vez, una traducción de la palabra hindú “sunya” que significa vacío o nada.
37. La multiplicación era considerada muy difícil y, hasta el siglo XVI, solo se enseñaba en las universidades.
38. Hasta fines del siglo XVIII, los números negativos no fueron aceptados universalmente.
39. Los matemáticos de la India, en el siglo VII, usaban los números negativos para indicar deudas.
40. Gerolamo Cardano, en el siglo XVI, llamaba a los números negativos “falsos”, pero en su ” Ars Magna ” (1545) los estudió exhaustivamente.
41. John Wallis (1616 – 1703), en su “Arithmetica Infinitorum” (1655), “demuestra” la imposibilidad de su existencia diciendo que “esos entes tendrían que ser a la vez mayores que el infinito y menores que cero”.
42. Leonard Euler, es el primero en darles estatuto legal; en su Anleitung Zur Algebra (1770) trata de demostrar que (-1)(-1) = +1
43. El primero en usar la coma para separar la parte decimal de la fraccionaria fue el astrónomo italiano Giovanni Magini. La invención de los logaritmos generalizó el uso de los números decimales y el escocés John Napier, inventor de los logaritmos neperianos, recomendó en 1617 el uso del punto; el caos siguió durante todo el siglo XVIII aunque al final solo quedaron en competencia el punto y la coma. En el continente europeo el asunto se resolvió en 1698, cuando Leibnitz, propuso usar el punto como símbolo de multiplicación (“en lugar del signo x, que se confunde con x, la incógnita”); quedó así la coma para separar la parte decimal del número. En Inglaterra, sin embargo, donde se habían cerrado las puertas al alemán Leibnitz, se siguió utilizando el símbolo x para la multiplicación y el punto para separar los decimales. En España y América también se usó, y se sigue aceptando, la coma elevada.
44. Los griegos desarrollaron las secciones cónicas unos 400 años antes de nuestra era; unos 2000 años después, Kepler demostró que las trayectorias de los planetas son elipses y Galileo descubrió que las trayectorias de los proyectiles son parábolas.
45. El hecho de que tengamos diez dedos en las manos y diez dedos en los pies, ha determinado la adopción del sistema decimal de numeración; aunque con el correr de los siglos se han propuesto y utilizado otros sistemas.
46. El sistema sexagesimal (base 60) fue creado por los babilonios hacia el año 200 antes de Cristo y se usa todavía para medir el tiempo y los ángulos.
47. La civilización maya floreció en Mesoamérica alrededor del siglo IV de nuestra era. Se sabe que tenían dos sistemas de numeración, los dos en base 20. Los aztecas también usaban un sistema vigesimal.
48. En el siglo XVIII, el naturalista francés Georges L. Buffon propuso un sistema de base 12.
49. Joseph L. Lagrange, matemático francés del siglo XVIII, propuso un sistema con once símbolos (base 11).
50. Gottfried W. Leibnitz, inventó el sistema binario (base 2) usado hoy en los ordenadores. Leibnitz vio en este sistema la imagen de la Creación; se imaginó que la unidad (1) representaba a Dios y el cero (0) la nada, e inventó un sistema filosófico basado en esas premisas.

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES


Hola compañeros, aquí les comparto un pequeño video sobre composición de funciones, espero que les sirva para el trabajo de álgebra. Les mando un saludo.